Đề Thi Imo 2013 (Olympic Toán Học Quốc Tế 54)

(www.MATHVN.com) – Đề thi IMO 2013 (Olympic Toán học Quốc tế lần thứ 54). Kỳ thi đang diễn ra tại Colombia. Đoàn Việt Nam có 6 thí sinh tha…

(www.MATHVN.com) – Đề thi IMO 2013 (Olympic Toán học Quốc tế lần thứ 54). Kỳ thi đang diễn ra tại Colombia. Đoàn Việt Nam có 6 thí sinh tham dự (xem danh sách 6 anh tài).

Ngày thứ nhất (23/7/2013 – giờ Colombia)

1 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $k, n$, tồn tại các số nguyên dương $m_1, m_2, ldots, m_k$ sao cho $$ 1+frac{2^k-1}{n}=left(1+frac{1}{m_1}right)left(1+frac{1}{m_2}right)dotsleft(1+frac{1}{m_k}right).$$ 2 Trên mặt phẳng cho 2013 điểm màu đỏ và 2014 điểm màu xanh, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Ta chia mặt phẳng bởi các đường thẳng (không đi qua bất kì điểm nào trong các điểm đã cho) thành các vùng, sao cho không có bất kì vùng nào chứa các điểm có hai màu khác nhau. Cần ít nhất là bao nhiêu đường thẳng để luôn thực hiện được cách chia đó?

3 Cho tam giác $ABC$ và $A_1, B_1, C_1$ lần lượt là các điểm tiếp xúc của các đường tròn bàng tiếp với các cạnh $BC$, $AC$ và $AB$. Chứng minh rằng nếu tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $A_1B_1C_1$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$ thì $ABC$ là tam giác vuông.

Ngày thứ hai (24/7/2013 – giờ Colombia)

4 Cho tam giác nhọn $ABC$ có trực tâm $H$, và $W$ là một điểm trên cạnh $BC$, nằm giữa $B$ và $C$. Các điểm $M$ và $N$ theo thứ tự là chân các đường cao hạ từ các đỉnh $B$ và $C$. Gọi $omega_1$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $BWN$, và $X$ là một điểm trên đường tròn sao cho $WX$ là đường kính của $omega_1$. Tương tự, $omega_2$ là đường tròn ngoại tiếp của tam giác $CWM$, và $Y$ là điểm sao cho $WY$ là đường kính của $omega_2$. Chứng minh rằng ba điểm $X, Y$ và $H$ thẳng hàng.

6 Cho số nguyên $ngeq 3$ và xét $n+1$ điểm nằm cách đều nhau trên một đường tròn. Ta đánh số các điểm này bằng các giá trị $0,1,dots, n$, không nhất thiết theo thứ tự, và hai điểm khác nhau thì được đánh hai số khác nhau. Hai cách đánh số được xem là như nhau nếu từ cách này có thể nhận được cách kia bằng cách xoay đường tròn. Một cách đánh số được gọi là đẹp nếu, với bất kì bốn số $a<b<c<d$ với $a+d=b+c$, dây cung nối các điểm được đánh số $a$ và $d$ không cắt dây cung nối các điểm được đánh số $b$ và $c$. Gọi $M$ là số cách đánh số đẹp và $N$ là số các cặp số nguyên dương $(x,y)$ được sắp thứ tự sao cho $x+yleq n$ và $gcd(x,y)=1$. Chứng minh rằng $M=N+1$.

Nguồn: Art of Problem Solving

Những Bình Luận Đầu Tiên Về Đề Thi Olympic Toán Quốc Tế 2024

Các học sinh tham dự IMO 2024 mới ra khỏi phòng thi hơn 60 phút. Tình hình làm bài của đội tuyển Việt Nam đang “kín như bưng”, mặc dù ngay khi ra khỏi “trại”, thầy Nguyễn Khắc Minh đã giới thiệu ngay đề gốc (tiếng Anh và tiếng Việt) cho các thầy cô và phụ huynh trong nước đang chờ.

Trưởng Đoàn Lê Anh Vinh cùng đội tuyển sau ngày thi thứ hai IMO 2024

Đề gốc từ Ban Tổ chức IMO 2024

Đề ngày thứ nhất IMO 2024

Đề ngày thứ hai IMO 2024

1. Khác với một số năm gần đây, hai bài ở mức độ trung bình (medium) trong đề thi năm nay có khoảng cách rõ rệt về độ khó – dễ so với hai bài ở mức độ dễ (easy).

2. Đề thi năm nay là một đề thi không thật dễ chịu đối với các bạn học sinh của đội ta, vì trong đề chỉ có 1 bài hình (điểm mạnh hiện tại của hs ta), trong khi có tới 2 bài Tổ hợp (điểm không mạnh hiện tại của học sinh ta), lại đều ở mức trung bình trở lên; thêm vào đó, bài đại số (bài 2) cũng không thật sự dễ chịu, tuy ý tưởng và phương pháp giải quyết rất thân quen, không có gì mới lạ.

3. Ngày hôm qua, học sinh ta đã làm bài với tinh thần nỗ lực tối đa; các em hầu như đã thể hiện đúng năng lực thực sự của mình.Ngày hôm nay, các em có rất nhiều thời gian và cơ hội để “chém gió” ở bài 5. Rất hi vọng các em sẽ biết “góp gió thành bão”.

Hai ngày thi của Kỳ thi toán quốc tế lần thứ 58 (IMO 2024) vừa kết thúc. Chúng ta cùng điểm lại các bài toán trong đề thi cũng như phân tích các cơ hội dành cho 6 chàng trai của đội tuyển Việt Nam.

Trong ngày thi thứ nhất (18/7/2024)

Các thí sinh phải làm 3 bài toán trong vòng 270 phút. Bài 1 là bài về dãy số số học, bài 2 là bài đại số và bài 3 là bài hình học tổ hợp + thuật toán.

Bài 1 là bài toán dễ nhất của ngày thứ nhất. Chỉ cần thử qua vài trường hợp là thấy ngay được sự tuần hoàn trong trường hợp a0 là bội số của 3 và không tuần hoàn trong trường hợp ngược lại. Trên diễn đàn artofproblemsolving có rất nhiều ý kiến cho rằng bài này quá dễ, không có lý do để được chọn làm đề IMO, nhưng cũng có ý kiến bảo vệ với lập luận: học sinh dự IMO có rất nhiều mức độ và luôn phải có những bài dễ như vậy để khuyến khích phong trào.

Bài 1 IMO 2024

Bài 2 là một bài toán phương trình hàm. Đây là một dạng toán khá quen thuộc với học sinh Việt Nam và cũng là dạng toán xuất hiện nhiều trong các IMO Shortlist các năm gần đây (thay cho trào lưu bất đẳng thức). Kỹ thuật giải cũng không có gì đặc biệt: cũng là tính f(0), f(1), chứng minh tính toàn ánh rồi xử lý tiếp để đi đến kết quả. Điểm khó duy nhất trong bài này là tất cả các biến đều nằm trong biểu thức hàm nhưng vẫn giải ra hữu hạn nghiệm hàm (thông thường các phương trình hàm như thế sẽ có các họ nghiệm).

Bài 2 IMO 2024

Bài 3 là một bài toán khó. Riêng việc đọc để hiểu yêu cầu bài toán đã là cả một vấn đề. Tổng hợp trên diễn đàn artofproblemsolving các ý kiến đánh giá thì thấy các từ “bài toán quá khó và không thể giải được trong phòng thi!” “bài toán khủng!” “khó lòng mà giải được trong phòng thi!”. Nhưng điểm khó ở bài toán này là ở định hướng chứ không phải là kỹ thuật. Nếu xác định đúng hướng (câu trả lời là “không”), ta có thể tiếp tục suy nghĩ đến việc xây dựng chiến thuật di chuyển của thỏ để “cao chạy xa bay”. Và điều có thể nói thêm là ở bài này cũng khó có cơ hội kiếm điểm thành phần.

Bài 3 IMO 2024

Trong ngày thi thứ hai (19/7/2024)

Các thí sinh cũng tiếp tục làm 3 bài toán trong vòng 270 phút. Bài 4 là bài toán hình học, bài 5 là bài toán tổ hợp và bài 6 là bài toán số học-đại số.

Bài 4 là bài dễ nhất của ngày thi thứ hai và tương đương với bài 1. Theo lời nói vui của thầy Nguyễn Khắc Minh, người đã cùng trưởng đoàn Lê Anh Vinh dịch đề cho đội tuyển Việt Nam thì “bài 4 coi như hàng khuyến mãi”. Với thế mạnh về hình học của học sinh Việt Nam thì chắc chắc bài này sẽ không làm khó được 6 chàng trai của chúng ta.

Bài 4 IMO 2024

Bài 5, bài tổ hợp thì chỉ mới đọc đề, một người quen với toán olympic đã có thể liên tưởng ngay đến định lý Erdos-Szekeres về dãy con tăng, giảm trong dãy số thực. Và quả thực là định lý này sẽ giúp ích trong việc xây dựng lời giải. Trong trường hợp không biết hoặc không nhớ đến định lý này, bài toán vẫn có thể giải được nếu sử dụng quy nạp toán học. Nói chung đây là một bài toán hay (cho dù không thực tế lắm) vì lời giải không dùng đến bất cứ một kiến thức hay khái niệm cao siêu nào (ngay cả định lý Erdos-Szekeres cũng có thể chứng minh dễ dàng bằng nguyên lý chuồng và thỏ). Điều này đáng mừng vì ở một xu thế ngược lại, có nhiều bài toán olympic đã quá lạm dụng các kiến thức cao cấp (như trong lý thuyết số, lý thuyết đồ thị, đại số tuyến tính, đại số giao hoán …), dẫn đến việc chạy đua vũ trang về kiến thức.

Bài 6 IMO 2024

Đánh giá tổng thể đề thi

Đề ngày 1 là khá lệch. Một thí sinh (nước ngoài) dự IMO 2024 cho biết bạn chỉ mất 15 phút để giải xong bài 1, 45 phút để giải xong bài 2 nhưng với 3 tiếng rưỡi còn lại bạn đã phải bó tay với bài 3. Đề ngày 2 có vẻ đồng đều hơn, dù bài 4 vẫn là rất dễ.

Theo thông tin của Thầy Nguyên Khắc Minh về xuất xứ các bài của đề thi:

Bài 1: Do Nam Phi đề xuất.Bài 2: Do Albani đề xuất.Bài 3: Do Áo (Austria) đề xuất.Bài 4: Do Luxamburg để xuất.Bài 5: Do Nga đề xuất.Bài 6: Do Mỹ đề xuất.

Các bạn có thể xem Lịch diễn biến của IMO lần thứ 58.

Các bạn có thể tải Kho đề thi IMO từ năm 1959 đến năm nay.

Mời Các Bạn Thử Sức Giải Đáp Với Đề Olympic Toán Quốc Tế

Từ đấu trường quốc tế đầy sức nóng của kỳ thi Olympic Toán Quốc tế (IMO) 2024 tại Brazil, thầy Nguyễn Khắc Minh (thành viên tổ ra đề Toán IMO quốc tế 2024) cũng là người dẫn đoàn đội Việt Nam tham dự kỳ thi đã “hé lộ” đề Olympic Toán quốc tế 2024.

IMO năm nay có 112 đoàn tham dự, với tổng số thí sinh khoảng từ 619 đến 622. Đội tuyển Việt Nam dự thi Olympic Toán quốc tế 2024 gồm 6 học sinh xuất sắc nhất. Đó là các bạn: Lê Quang Dũng, trường THPT chuyên Lam Sơn, Thanh Hoá; Phạm Nam Khánh, trường THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam, TP Hà Nội; Nguyễn Cảnh Hoàng, trường THPT chuyên Phan Bội Châu, Nghệ An; Phan Nhật Duy, THPT chuyên Hà Tĩnh, Hà Tĩnh; Hoàng Hữu Quốc Huy, trường THPT chuyên Lê Quý Đôn, Bà Rịa – Vũng Tàu; Đỗ Văn Quyết, trường THPT chuyên Vĩnh Phúc, tỉnh Vĩnh Phúc.

Lịch thi cụ thể:

Ngày 18/7 học sinh làm bài thi thứ nhất từ 09h00 đến 13h30 giờ địa phương (19h00 đến 23h30 giờ Hà Nội).

Ngày 19/7 học sinh làm bài thi thứ hai từ 09h00 đến 13h30 giờ địa phương.

Bài 1: Do Nam Phi đề xuất.

Bài 2: Do Albania đề xuất.

Bài 3: Do Áo đề xuất.

Bài 4: Do Luxembourg đề xuất.

Bài 5: Do Nga đề xuất.

Bài 6: Do Mỹ đề xuất.

Thầy giáo Nguyễn Khắc Minh, chuyên viên Cục khảo thí – Bộ Giáo dục và Đào tạo, phụ trách mảng Toán Olympic đánh giá: “Khác với một số năm gần đây, hai bài ở mức độ trung bình (medium) trong đề thi năm nay có khoảng cách rõ rệt về độ khó – dễ so với hai bài ở mức độ dễ (easy).

Đề thi năm nay là một đề thi không thật dễ chịu đối với các bạn học sinh của đội ta, vì trong đề chỉ có 1 bài hình (điểm mạnh hiện tại của học sinh ta), trong khi có tới 2 bài Tổ hợp (điểm không mạnh hiện tại của học sinh ta), lại đều ở mức trung bình trở lên; thêm vào đó, bài đại số (bài 2) cũng không thật sự dễ chịu, tuy ý tưởng và phương pháp giải quyết rất thân quen, không có gì mới lạ”.

Năm nay, đội tuyển Việt Nam có 6 chàng trai tham dự chinh phục IMO lần thứ 58. (Ảnh: Thầy Nguyễn Duy Liên)

 Thầy Minh cập nhật thêm: “Ngày hôm qua, học sinh đội ta đã làm bài với tinh thần nỗ lực tối đa; các em hầu như đã thể hiện đúng năng lực thực sự của mình. Ngày hôm nay, các em có rất nhiều thời gian và cơ hội để thể hiện khả năng ở bài 5. Rất hi vọng các em sẽ mang vinh quang về cho nước nhà”.

Chúc cho đội tuyển Việt Nam thể hiện thật tốt và trở về trong khúc “khải hoàn ca”!

Theo Dân trí

Đề Thi Olympic Quốc Tế Imo 2024

Bài 1. Tam giác $BCF$ vuông tại $B.A$ là một điểm trên đường thẳng $CF$ sao cho $FA=FB,F$ nằm giữa $A$ và $C$. Chọn điểm $D$ sao cho $DA=DC$ và $AC$ là phân giác của $angle DAB$. Chọn điểm $E$ sao cho $EA=ED$ và $AD$ là phân giác của $angle EAC$. $M$ là trung điểm $CF$. $X$ là điểm thỏa mãn $AMXE$ là hình bình hành. Chứng minh rằng $BD$, $FX$ và $ME$ đồng quy.

Bài 2. Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ sao cho có thể điền vào bảng ô vuông $ntimes n$ các chữ cái $I$, $M$ và $O$ theo quy tắc

– Mỗi hàng và mỗi cột $I$, $M$, $O$ đều chiếm một phần ba số ô được điền.

– Trong bất kì đường chéo nào, nếu số ô được điền là bội của ba thì một phần ba trong số đó là $I$, một phần ba là $M$ và một phần ba là $O$.

Bài 3. Cho $P=A_1A_2ldots A_k$ là một đa giác lồi trong mặt phẳng. Các đỉnh $A_1,A_2,ldots A_k$ có tọa độ là các số nguyên và nằm trên một đường tròn. Gọi $S$ là diện tích của $P$. Một số tự nhiên $n$ lẻ thỏa mãn bình phương độ dài các cạnh của $P$ đều chia hết cho $n$. Chứng minh rằng $2S$ là một số tự nhiên chia hết cho $n$

Bài 4. Một tập hợp các số nguyên dương được gọi là tập hương nếu tập hợp đó có ít nhất 2 phần tử và mỗi phần tử của nó đều có ước nguyên tố chung với ít nhất một trong các phần tử còn lại . Đặt $P(n)=n^{2}+n+1$. Hãy tìm số nguyên dương $b$ nhỏ nhất sao cho tồn tại số không âm $a$ để tập hợp $left { P(a+1);P(a+2);…;P(a+b) right }$ là tập hương.

Bài 5. Người ta viết lên bảng phương trình:

$(x-1)(x-2)(x-3)…(x-2024)=(x-1)(x-2)(x-3)…(x-2024)$

với 2024 nhân tử bậc nhất ở mỗi vế. Hãy tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất để có thể xóa đi $k$ nhân tử trong số 4032 nhân tử nêu trên sao cho mỗi vế còn ít nhất một nhân tử và phương trình thu được không có nghiệm thực.

Bài 6. Trong mặt phẳng, cho $ngeq 2$ đoạn thẳng sao cho 2 đoạn thẳng bất kì cắt nhau tại một điểm nằm trên mỗi đoạn và không có ba đoạn thẳng nào đồng quy.Với mỗi đoạn thẳng thầy Minh chọn một đầu mút của nó rồi đặt lên đó một con ếch sao cho mặt con ếch hướng về đầu mút còn lại. Sau đó thầy vỗ tay $n-1$ lần. Mỗi lần vỗ tay con ếch ngay lập tức nhảy đến giao điểm gần nhất trên đoạn thẳng của nó. Tất cả những con ếch đều không thay đổi hướng nhảy của mình trong toàn bộ quá trình nhảy. Thầy Minh muốn đặt các con ếch sao cho sau mỗi lần vỗ tay không có hai con nào nhảy đến cùng một điểm.

(a). Chứng minh rằng thầy Minh luôn thực hiện được ý định của mình nếu $n$ là số lẻ.

(b). Chứng minh rằng thầy Minh không thể thực hiện được ý định của mình nếu nếu $n$ là số chẵn.

Lời Giải Và Bình Luận Đề Toán Thi Học Sinh Giỏi Quốc Gia 2024

Lời giới thiệu của tác giả

Bài viết này theo góc độ cá nhân của tác giả, chủ yếu muốn nhận xét, đánh giá từ tổng quan cho đến chi tiết từng câu trong đề thi HSG QG năm nay (sẽ không nêu các bài toán tương tự hay mở rộng, tổng quát như các năm trước). Trong bài viết này, tác giả có sử dụng lời giải, ý tưởng của các thầy: Nguyễn Ngọc Duy (GV PTNK TPHCM), Trần Quang Hùng (GV chuyên KHTN Hà Nội), Trần Xuân Hùng (GV THPT Vĩnh Xuân, Huế), Phạm Tiến Kha (GV ĐHSP TPHCM), Trần Quốc Luật (GV chuyên Lê Hồng Phong TPHCM), Nguyễn Văn Linh (SV ĐHSP Hà Nội), Nguyễn Song Minh (Hà Nội), Nguyễn Quang Tân (GV chuyên Lào Cai), Nguyễn Tăng Vũ (GV PTNK TPHCM) và bạn: Huỳnh Văn Y (KHTN TPHCM), Nguyễn Nguyễn (HS PTNK TPHCM). Xin cám ơn thầy Trần Nam Dũng (GV PTNK TPHCM) và anh Võ Quốc Bá Cẩn (GV Archimedes Academy Hà Nội) đã động viên nhiều trước đó để tác giả thực hiện bài viết này.

Nhận xét tổng quan

* Ngày 1: từng bài toán đều có những cái khó riêng, hầu như nếu không nắm được các bổ đề thì không thể xử lý trọn vẹn. Có bài thì phát biểu đơn giản nhưng theo kiểu lý thuyết, có bài thì cách xây dựng cầu kỳ, rắc rối khiến các thí sinh ngay cả ở phần sở trường của mình cũng không thể phát huy tốt. Phân tích kỹ ra hơn, phải nói rằng có nhiều ý trong đề bài dường như chặn hết các đường suy luận của những thí sinh tiếp cận vấn đề theo hướng tự nhiên. * Ngày 2: cả ba bài toán đều ít nhiều liên hệ tới các đề thi VMO cũ (1994, 2024, 2010) và đã được đề cập trong các bài giảng, tài liệu. Thí sinh đa số lấy được điểm ở bài 5 và 6 nhưng tính cũ của các bài phần nào đã khiến cho những thí sinh chưa đọc qua các đề thi trên gặp khó khăn. Phân bố khó dễ giữa hai ngày không hợp lý khi có bài mức độ nhẹ nhàng, đáng lẽ nên được sắp xếp ở ngày đầu để tạo tâm lý thoải mái, cũng là động lực cho thí sinh thì lại nằm ở ngày thứ hai. * Đề thi chọn HSG quốc gia hàng năm luôn là đề được cộng đồng Olympic, từ giáo viên, học sinh và những bạn yêu Toán đón nhận nhiều nhất. Với quy mô toàn quốc, được đầu tư bởi các chuyên gia nhiều kinh nghiệm, VMO luôn hứa hẹn là đề thi mang tính sư phạm, chuyên môn, khách quan và gợi mở, định hướng phát triển phong trào nhất mỗi năm. Thật đáng tiếc rằng trong đề thi VMO 2024 này, thật khó để nhìn nhận ra được các đặc điểm như thế!

Đầy đủ đề thi và lời giải trong file PDF